一 般 習 題
(2001年1月1日更新)
1.1 根據書上的250頁到252頁，目標函數
在
處取極小值的必要條件為
(1a, b)
其中Hesse矩陣G的第(i, j)個元素為
, 
為任意向量。 (1b)式表明，Hesse矩陣必須是正半定的，也就是說它的特徵值必須大於或等於零。
(a) 試就計算機習題2(c)寫出Hesse矩陣G。
(b)試決定出G的特徵值。
(c)試說明為何計算機習題2(c)做不出來。
*本題目的: 解釋為何計算機習題2(c)做不出來。
*數值問題: 求出一矩陣的特徵值。
1.2 考慮下面的代價函數：
(a)若將向前模式的誤差考慮進去，則上式應該如何改寫？
(b)對四維(含有時間)同化問題來說，上式應該如何改寫？
(c)對三維變分分析問題來說，例如由各視點上的各測溫頻道輻射強度觀測值決定出各格點上的各氣壓層的溫度，則向前模式h(x)應該包括哪些運算？
1.3 解釋下面的名詞：
(a)向前模式(forward model)。
(b)狀態向量(state vector)。
(c)反方法(inverse method)。
(d)代價函數(cost function)。
(e)下降算法(descent algorithm)。
(f)調諧問題(tuning problem)。
(g)切線性方程(tangent linear equation)。
(h)控制變數(control variables)。
(i)Hess矩陣。
1.4 假設目前NOAA衛星上HIRS輻射計有7個測溫頻道，對地面上進行觀測時，可得到7個頻道的輻射強度值。另外，在這一點上有10個氣壓層的氣溫預報值。現在要用變分同化法進行氣溫垂直 分布的反演，此時代價函數可寫為
其中下標o和b分別表示觀測值和背景值。x和y則分別為控制變數和可觀測的量。
(a)試述在這反演問題中x, y, h的物理意義和維數。
(b)列出求解步驟。
2.1 樣條函數。
(a)何謂三次樣條函數？
(b)假定現在有N個（一維）格點，共有N－1個區間，對每個區間來說三次樣條函數有4個未知數，故總共有4(N－1)個未知數。這些未知數要由哪件條件給出的方程求出來？試寫出每個條件給出的線性代數方程的數目。
3.1 試述共軛方程的初始、邊界條件的幾個特性。
3.2 考慮下面的線性平流方程及其初始和邊界條件:
(1a)
(1b)
這個方程的一個差分格式是向前時間上游格式(forward-time upstream
scheme):
(2a)
(2b)
(2a)式可改寫為
(3)
這個格式的穩定條件是Courant數
在0到1之間。若要由觀資料
決定最佳的初始值
, 可令下面的代價函數取極小值:
(4)
將(3)式視為強勢約束條件，則需要極小化的代價函數變為
(5)
(a)試導出共軛方程及其初始和邊界條件。
(b)試導出代價方程梯度
的表達式。
(c)將Courant數
視為控制變數，試導出代價函數關於
的梯度的表達式。
注意事項:
*初始值共有
個，邊界值共有N個。
*
的邊界上u值不能給定。
*請注意時間指標n和空間指標j的範圍，在導出的式子中一定要寫。
5邊界值已知且固定。
Ÿ 初始值需給定才能進行向前預報，但它們是控制變數。
。由向前預報可得到u值.
3.3 考慮下面的一維線性化淺水方程:
其中g和H都是正數.現在若有觀測值
和
。試導出資料同化所需用到的共軛方程和它們的初始邊界條件，代價函數使用
另外，也導出
和初始、邊界值關係的表達式。
3.4考慮下面風向標方程的基本方程及其初始條件(Wieringa, 1967: JAM, 6, 1114-1122):
其中I為慣性矩(轉動慣量)，D為阻尼係數, N為扭力矩，它們都設為常數。
則為風向標偏離風向的角度。假定在一段時間內有偏角的觀測值
。
(a)試導出共軛方程及其初始條件。
(b)試導出代價函數梯度的表達式。
3.5
對於下面的動力方程及其初始、邊界條件，現在若有u的觀測
，試求出資料同化需要用到的共軛方程及其初始、邊界條件，並說明代價函數關於初始值的梯度要如何決定。
(a)線性平流方程：
其中平流速度c為常數。
(b)平流擴散方程：
, 
其中平流速度c和擴散係數
都是常數，而
是正數。
(c)波動方程
, 
其中相速度c為常數。
3.6 對於下面的動力方程，試決定出相應的切線性方程(tangent linear equation)
共軛方程：
(a)非線性平流方程
(b)一維非線性淺水方程：
其中
為重力位。
(c)一維非線性淺水方程：
其中
為重力位，f為科氏參數。
(d)非線性淺水方程：
其中
為重力位，f為科氏參數。
3.7 對於下面的動力方程及其初始、邊界條件，現在若有u的觀測
，試求出資料同化需要用到的共軛方程及其初始、邊界條件，並說明代價函數關於初始值的梯度要如何決定。
(a)線性平流方程：
其中平流速度c為常數。
(b)平流擴散方程：
, 
其中平流速度c和擴散係數
都是常數，而
是正數。
(c)波動方程
, 
其中相速度c為常數。
3.8 對於下面的動力方程，試決定出相應的切線性方程(tangent linear equation)的共軛方程：
(a)非線性平流方程
(b)一維非線性淺水方程：
其中
為重力位。
(c)一維非線性淺水方程：
其中
為重力位，f為科氏參數。
(d)非線性淺水方程：
其中
為重力位，f為科氏參數。
4.1 解釋下面的名詞：
(a)Snell定律(Snell law)。
(b)影響參數(impact parameter)。
(c)彎角(bending angle)。
(d)Abel變換。
(e)Bouguer定律。
(f)Fermat原理(Fermat principle)。
4.2 解釋或說明下面的陳述:
(a)若要求解反問題，需要先求解正問題。
(b)共軛方程對Lagrange乘數來說，總是線性的。
(c)代價函數一定是正值。
(d)射線在大氣頂層處的天頂角一定要大於某一個角度，才能被低軌衛星收到，以做為探測大氣之用。
4.3
影響參數(impact parameter) a，近地點離地心的距離
和大氣層頂離地心的距離
這三個量，若按大小次序排列，應該是如何？
4.4 試寫出下面物理量的大小或數量級：
(a)彎角(bending angle) 
。
(b)折射指數(refractive index) 
。
(c)折射率(refractivity) N。
(d)影響參數(impact parameter) a。
5.1 解釋下面的名詞:
(a)觀測增量(observation increment)。
(b)背景增量(background increment)。
(c)分析增量(analysis increment)。
(d)增益矩陣(gain matrix)。
5.2 極小方差估計值(minimun variance estimate)
(a) 何謂極小方差估計值？
(b)極小方差估計值有何特點？
(c) 在何種情況下極大似然估計值(maximun likelihood estimate)才會和極小方差估計值一樣？
5.3 試用簡單的文字說明什麼是Kalman濾波器。
5.4 模式誤差。
(a)何謂預報模式誤差(即系統誤差)?
(b)模式誤差包括哪些誤差?
5.5 Kalman 濾波器。
(a)試述Kalman濾波器包括哪些部分。
(b)Kalman濾波器在實際執行時有哪些問題?
5.6 假如預報模式寫為
其中
為源函數，即強迫函數，則Kalman 濾波器中的預報誤差協方差矩陣
的預報方程應如何改寫?
5.7 考慮下面的線性平流方程:
這個方程的一個差分格式是向前時間上游格式:
其中c為常數，
和
x別為時空格距，n和j分別為時空指標。
(a)寫出第29題中預報模式
和源函數
的表達式。
(b)寫出模式誤差
的表達式。
(c)在這情況下有沒有參數化誤差?
5.8 考慮下面的線性平流方程
這個方程的一個差分格式是隱式格式：
其中平流速度c為常數。在上式中時間差分用梯形格式，空間差分用中差分法。
(a)寫出第29題中預報模式
和源函數
的表達式。
(b)寫出模式誤差
的表達式。
(c)在這情況下有沒有參數化誤差?
6.1 仔細閱讀Zhang and Gal-Chen(1996)的文章(J. Atmos. Sci., 53, 2609-2623.), 然後回答下面的問題:
(a)本文用到了下面的數值方法, 請問在哪裏用到?
l linear system. l interpolation and approximation.
(b) 本文中選定weight的原則是什麼?
(c)本文中如何估計時間趨勢(
)和空間梯度(
)?
(d)解釋下面的名詞:
l steadiness assumption. l dBZ. l ill-conditionedness.
l VAD. l VVP. l deformation. l pattern correlation
method.
(e)關於下面各點, 本文的結論是什麼?
l 移動坐標. l 權重的選擇. l 時空濾波. l 觀測時間訂正.
6.2 仔細閱讀Liou(1999)的文章(J. Atmos. Oceanic Technol., 16, 1003-1016.), 然後
回答下面的問題:
(a)本文用到了下面的數值方法, 請問在哪裏用到?
l linear system. l interpolation and approximation.
l optimization.
(b)本文用到哪些數學方法?
(c)本文中如何計算時間趨勢(
)和空間梯度(
)?
(d)關於下面各點, 本文的結論是什麼?
l 弱散度和弱垂直渦度的引進. l 掃瞄策略.
l 靈敏度試驗. l 常規雷達資料.
(e)何謂robustness?
(f)何謂without sacrificing the radar data resolutions?
(g)本文有哪些印刷上的小缺陷?
7.1 試證下面的矩陣恆等式是成立的：
其中B和O為
矩陣。
7.2 試證
其中
為常向量，x為位置向量。
7.3 試用指標符號表達下面的向量方程：
7.4 試證下面向量恆等式成立：
(a) 
(b) 
7.5 解釋下面的名詞：
(a)協方差矩陣(covariance matrix)。
(b)矩陣的正定性(positive-definitness of matrix)。
(c)Dirichlet和Neumann問題。
(d)適定問題(well-posed problem)。
8.1 解釋下面的名詞：
(a)平穩函數(stationary function)。
(b)等周長問題(isoperimetric problem)。
(c) 強勢與弱勢約束條件(strong and weak constraint)。
8.2 曲面上的測地線（geodesic）是指該曲面上兩點間距離最短的曲線。試決定下面三種曲面上的測地線：
(a)正圓柱。使用圓柱坐標，令a為圓柱的半徑，則弧長元為
(b)正圓錐。使用球坐標，令
為半頂角，則弧長元為
(c)迴轉曲面（surface of revolution）。令
然後寫出弧長元。
8.3 考慮捷線問題（brachistochrone problem）。給定高度不同的兩點
和
，要找出這樣的一條曲線，當一質點m在重力作用下沿著這條曲線從A運動到B時所需的時間要極小（
）。
(a)令v是速度，s是t時間內走過的距離，因為
常數
(1a,
b)
故需要取極小值的泛函為
在(1b)式中g為重力加速度，
為一常數。(1b)式表示總能量（動能加上位能）是守恆的。試證Euler-Lagrange方程可寫為
(b)令
，將上式積出來，試求出平穩函數的表達式，這個函數稱為擺線（cycloid）。
8.4 考慮一條曲線
，它在x處的弧長元為
，這個弧長元和x軸的距離為y，故以y為半徑的環形面積元為
，將這個面積元由
積到
，就得到一個迴轉曲面的面積：
試證使這個迴轉曲面的面積取極小值的平穩函數為懸鍊線（catenary）：
8.5 考慮7.5節中提出的等周長問題(1)和(2)式，試就下面三種邊界條件決定平穩函數和積分常數。曲線的長度C會影響解是否存在，試分別討論。
(a)兩個端點都固定。
(b)
處的端點可自由滑動（沿
的直線）。
(c)
處的端點可沿x軸滑動。
8.6 試決定下面問題的Euler-Lagrange方程和自然邊界條件：
8.7 橫截條件。
(a)試求出下面問題的橫截條件：
其中
處的端點可沿著曲線
滑動。
(b)假如l是可變動的，試求出下面問題的平穩函數：
試證l的最小正值在和之間。